========== [ech-quatre] Quatre échantillons, quatre droites
pente sur les 856 : 14.32
pentes des 4 échantillons : [13.44 14.87 15.99 13.96]

========== [ech-distrib] Mille échantillons, la distribution des pentes
moyenne et écart-type des 1 000 pentes : 14.38 3.19
plus petite et plus grande pente : 5.29 24.66

========== [va] Un étudiant tiré au hasard
loi de X : [615, 241] étudiants sur 856
P(X = 1) : 0.2815 | P(X = 0) : 0.7185
chaque note a la probabilité 1/856 : 0.00117

========== [esp-prop] Calculer avec l'espérance
E(Y) : 72.6
E(0,2 Y) : 14.52 | 0,2 E(Y) : 14.52
E(Y - mu) : 0.0
E(Y^2) : 5450.1 | [E(Y)]^2 : 5270.7

========== [variance] Variance et écart-type
Var(X) = p(1 - p) : 0.2023 | E(X^2) - p^2 : 0.2023
Var(Y) : 179.37  (division par N = 856) | écart-type : 13.39
E(Y^2) - [E(Y)]^2 : 179.37
Var(0,2 Y) = 0,04 Var(Y) : 7.175 7.175

========== [lgn] La moyenne empirique se rapproche de l'espérance
moyenne après 10, 100, 2 000 tirages : [69.81 71.85 72.66]
E(Y) : 72.6

========== [cov-pop] Covariance et corrélation dans la population
Cov(X, Y) : -0.967
autre écriture, E[(X - E X)(Y - E Y)] : -0.967
Corr(X, Y) : -0.161

========== [independance] Covariance nulle sans indépendance
E(X), E(Y), E(XY) : 0.0 0.6667 0.0 | Cov(X, Y) : 0.0
P(X = 0 et Y = 1) : 0 | P(X = 0) P(Y = 1) : 0.2222

========== [cond-cov] Covariance nulle, espérance conditionnelle non nulle
E(u) : 0.0 | Cov(x, u) = E(xu) - E(x)E(u) : 0.0
E(u | x) pour x = -1, 0, 1 : [ 0.3333 -0.6667  0.3333]

========== [var-moyenne] La variance d'une moyenne
écart-type théorique de la moyenne, sigma / racine(50) : 1.894
écart-type des 5 000 moyennes simulées : 1.897
moyenne des 5 000 moyennes : 72.62 | E(Y) : 72.6

========== [esp-cond] Espérance conditionnelle
E(Y|X=0), E(Y|X=1) : [73.95, 69.17] | P(X=1) : 0.2815
         mean  size
colgpa             
1.625   58.26    12
1.875   63.44    43
2.125   61.66    63
2.375   65.03   123
2.625   69.51   130
2.875   73.61   156
3.125   76.29   124
3.375   80.58   101
3.625   84.96    70
3.875   88.20    27

========== [iterees] La loi des espérances itérées
(1 - p) E(Y|X=0) + p E(Y|X=1) : 72.6
E(Y) : 72.6 | moyenne simple des deux : 71.56
Cov(X, Y) = p(1 - p)[E(Y|X=1) - E(Y|X=0)] : -0.967

========== [var-cond] Variance conditionnelle
         mean    std  size
colgpa                    
Q1      63.05  14.58   214
Q2      69.07  10.08   214
Q3      75.53  10.49   215
Q4      82.78   8.81   213
bornes des quarts : [Interval(0.874, 2.446, closed='right'), Interval(2.446, 2.813, closed='right'), Interval(2.813, 3.207, closed='right'), Interval(3.207, 4.0, closed='right')]

========== [rls1] Moyennes par classe et droite des MCO
         mean  size  droite
colgpa                     
1.625   58.26    12   55.57
1.875   63.44    43   59.15
2.125   61.66    63   62.73
2.375   65.03   123   66.31
2.625   69.51   130   69.88
2.875   73.61   156   73.46
3.125   76.29   124   77.04
3.375   80.58   101   80.62
3.625   84.96    70   84.20
3.875   88.20    27   87.78

========== [rls3] Variation de x dans l'échantillon
count    856.000
mean       2.815
std        0.537
min        0.875
25%        2.446
50%        2.813
75%        3.207
max        4.000
Name: colgpa, dtype: float64
nombre de valeurs différentes : 612

========== [equilibre] Comparer les groupes sur ce qui est observé
     colgpa  mothcoll  actmth
w15                          
0      2.86      0.66   23.15
1      2.70      0.54   23.37
        educ    age  re75
train                    
0      10.09  25.05  1.27
1      10.35  25.82  1.53

========== [rls5] Résidus et dispersion selon colgpa
écart-type des résidus par quart de colgpa :
colgpa
Q1    14.34
Q2     9.86
Q3    10.47
Q4     8.36
dtype: float64

========== [jouet-bruit] Exemple à la main, l'estimation est la vérité plus du bruit
erreurs : [-1  0 -1  0 -3] | poids : [-0.1  -0.05  0.    0.05  0.1 ]
b1 : 0.8
avec d'autres erreurs (1, -1, 2, 0, 1), b1 : 1.05

========== [jouet-b0] Exemple à la main, la constante
moyenne des erreurs : -1.0 | b1 - 1 : -0.2
b0 = 6 + moyenne(u) - (b1 - 1) x moyen : 6.2

========== [mc-sansbiais] Simulation, l'absence de biais
moyenne des pentes : 14.006 | écart-type : 2.622
écart-type théorique 11 / racine(SCT_x) : 2.606

========== [mc-biais] Simulation, un biais quand RLS.4 échoue
n = 50 : moyenne 18.006  écart-type 2.622
n = 500 : moyenne 17.995  écart-type 0.815

========== [mc-variance] Simulation, ce qui rend la pente précise
référence                   théorique 2.606 | simulé 2.622
n = 200                     théorique 1.303 | simulé 1.294
x deux fois moins dispersé  théorique 5.213 | simulé 5.218
sigma = 5,5                 théorique 1.303 | simulé 1.302

========== [eventail] Pourquoi la dispersion de x aide
écarts-types théoriques : 0.184 0.737

========== [mc-hetero] Simulation, quand RLS.5 échoue
moyenne des variances de u : 121.0
moyenne des pentes : 13.995 | écart-type simulé : 3.579
vrai écart-type, racine(somme w_i^2 s_i^2) : 3.559
formule usuelle, racine(moyenne des s_i^2 / SCT_x) : 2.607

========== [mc-sigma] Simulation, estimer la variance de l'erreur
moyenne de SCR / (n - 2) : 120.85
moyenne de SCR / n : 116.01
vraie variance sigma^2 : 121 | 121 x 48 / 50 : 116.16

========== [mc-se] Simulation, l'erreur-type
moyenne des erreurs-types : 2.591 | écart-type des pentes : 2.622
écart-type théorique 11 / racine(SCT_x) : 2.606

========== [erreur-type] D'où viennent les erreurs-types de la table
SCR : 103036.6 | sigma chapeau : 10.984 | SCT_x : 246.43
se(b1) = sigma chapeau / racine(SCT_x) : 0.6997
moyenne des x au carré : 8.21
se(b0) : 2.0049
logiciel : [2.005, 0.7] | sigma chapeau : 10.984
